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Anwendungsbeispiel in der Mathematik

Hochbegabte

Ganz allgemein kann gesagt werden, dass Hochbegabung Ausdruck eines deutlichen Entwicklungsvorsprunges ist, und zwar im geistig-intellektuellen, musisch-künstlerischen, sozialen oder motorischen Bereich.

Gemeinhin bezieht sich der Begriff “Hochbegabung” auf den geistig-intelektuellen Bereich. Und wir betrachten dies als Befähigung (Anlagepotenz) zu besonderen oder außerordentlichen Leistungen, die jedoch nur dann erbracht werden, wenn eine Motivation dazu da ist und die Umweltbedingungen stimmen.
Diese hohe geistige Befähigung wird oft mit einem Intelligenzquotienten (IQ) angedeutet. Als grober Richtwert wird ein IQ von 125 angegeben. Das entspricht 2% der Bevölkerung.

Die Verteilung der Intelligenz folgt, wie viele andere menschliche Merkmale (z.B. Körpergröße), einer Gauß’schen Normalverteilung. Hochbegabung gab und gibt es also schon immer und in allen Kultur- und Volkskreisen.




Allgemeines Beispiel der Graphischen Darstellung von IQ-Werten in einem Diagramm

Aufgabe:

Du bist Psychologe und hast einen IQ-Test entworfen. Mit der Bearbeitung des Tests sammelt man Punkte, die am Ende in einem Zahlenwert die Intelligenz eines Menschen beschreiben sollen. Ein Mitarbeiter hat dir alle Ergebnisse in Form eines Graphen zur besseren Darstellung überreicht, das folgendermaßen aussieht:

 



Doch du möchtest wissen, wie viel Prozent der Teilnehmer an deinem Test Hochbegabte waren.

 

Eine Möglichkeit, dass auszurechnen besteht darin, mit der Integralrechnung den Prozentsatz herauszufinden. Dazu ist zunächst folgendes wichtig:

 

Die maximal zu erreichende Punktzahl bei dem Test entspricht dem IQ-Wert von 150. In unserem Graphen entspricht das dem x-Wert 4. Diese Zahl wird später noch mal wichtig werden, deshalb merken wir uns:

IQ 150 = 4

 

Zunächst müssen wir also ein LinkIntegral (das ist schon beim Beruf der Luft- und Raumfahrttechnik erklärt) berechnen.

Gegeben ist die Funktion




 

 

 

 

 

Von ihr müssten wir eigentlich eine Stammfunktion F(x) bilden. Da das aber in unserem Fall aufgrund mathematischer Begebenheiten nicht möglich ist, haben andere kluge Mathematiker die wichtigsten Werte schon kompliziert auf andere weise berechnen lassen vom Rechner und in tabellarischer Form zusammengetragen. Alles was wir machen müssen, ist das Ergebnis für einen bestimmten x-Wert aus der Tabelle abzulesen und in die Rechnung einzufügen. 

 

Jetzt bilden wir aber erstmal unser Integral...

Unsere Funktion verläuft dadurch, dass es sich um eine e-Funktion handelt, immer über der x-Achse, wobei sie sich für x → −∝ und x→ +∝ an die x-Achse annähert und bei dem x-Wert 0 ihren höchsten Punkt erreicht.

 

Wir berechnen also das Integral von −∝ bis 4, da −∝ unsere kleinste Grenze und 4 (wir erinnern uns: IQ150 ist der maximal zu erreichende Wert) unsere obere Grenze ist. Mathematisch sieht das alles dann wie folgt aus:



 

 

 

 

Jetzt lesen wir aus der tollen Tabelle das Ergebnis ab. Das ist 0,99997.

 

Und jetzt brauchen wir das Integral von −∝ bis 2. Der x-Wert 2 steht für den IQ-Wert 125 und hier setzt die Bezeichnung "Hochintelligent" ein. Mathematisch sieht das dann so aus:



 

 

 

 

 

Jetzt subtrahieren wir die zwei Integrale voneinander, um wirklich nur das Integral von 2 bis 4 herauszufinden.



 

 

 

 

 

 

Der letzte, finale Schritt ist nun die Prozentrechnung. Eine Möglichkeit dafür ist das Rechnen mit dem Dreisatz:



 

 

 

 

 

 

Dann haben wir unsere Antwort auf die anfängliche Frage.


⇒ 2,27 % der Teilnehmer an dem Test waren Hochbegabt!