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Anwendungsbeispiel aus der Mathematik

Dosis-Wirkungs-Kurve "In der Pharmakologie beschreiben Dosis-Wirkungs-Kurven graphisch den Zusammenhang zwischen der verabreichten Dosis eines Wirktoffs und seiner Wirkung. Die Wirkung kann sich dabei auf ein Individuum beziehen oder auf eine Gruppe von Individuen. Es wird unterschieden zwischen monotonen und nicht monotonen Kurven. " (Wikipedia)     Quelle: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Dosis-Wirkungs-Kurve.png

Erklärungen zu der dargestellten Dosis- Wirkungs- Kurve

Worterklärungen: 

Agonist: in der Pharmakologie eine Substanz, die zu einer vollen Aktivierung eines Rezeptors führt

 

Partialagonist: in der Pharmakologie eine Substanz, die zu einer partiellen Aktivierung eines Rezeptors führt

 

Erläuterung der Grafik:

x-Achse: Dosis in logarithmischer Form ( 10er Logarithmus) in mg/ kg

 

y- Achse: Wirkung in Prozent

 

E_max (Maximaleffekt) bei Agonist: 100%

 

Verlauf der Kurve: sigmoidal ("S"- förmig)

 

Definition Sigmoidfunktion:

" Eine Sigmoidfunktion, Schwanenhalsfunktion oder S- Funktion ist eine mathematische Funktion mit einem "S"- förmigen Graphen.

Oft wird der Begriff Sigmoidfunktion auf den Spezialfall logistische Funktion bezogen, die durch die Gleichung

sig (t) = 1/  (1 + e^_-t )   =   1/2 ( 1 + tanh t/2) 

beschrieben wird. 

Dabei ist e die eulersche Zahl. Diese spezielle Sigmoidfunktion ist also im wesentlichen eine skalierte und verschobene Tangens hyperbolicus ( Anm. : tanh = Hyperbelfunktion → tanh (x)= sinh (x) / cosh (x)  )  und hat entsprechende Symmetrien."  (Wikipedia)

 

 

Sigmoidfunktion Logistische Funktion Quelle: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Logistisch.svg

Tangens Hyperbolicus Tangens Hyperbolicus Quelle: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/87/Hyperbolic_Tangent.svg

Interpretation der Grafik:    Wirkstärke: Gibt an, welche minimalen Dosen eines Wirkstoffs nötig sind, um einen gewünschten Effekt zu erzielen.   Maximaleffekt eines Wirkstoffs: Streng mathematisch betrachtet, nähert sich die Kurve dem Maximaleffekt asymptotisch an.   Steilheit der Kurve: zeigt an wie breit das Spektrum zwischen einer minimalen messbaren Wirkung und der Maximalwirkung eines Medikamentes ist.   Die Dosis- Wirkungskurve stellt eine Verbindung aus der Konzentrations- Bindungs und der Bindungs- Wirkungskurve dar.Durch das Eintragen von Dosis- Wirkungskurven mehrerer Medikamente in ein DIagramm, kann man deren Eigenschaften vergleichen.